El máximo común divisor es el mayor entero que divide exactamente varios números. El mínimo común múltiplo es el menor valor positivo que es múltiplo de todos ellos. Aunque están relacionados, responden a preguntas distintas.

Si quieres repartir 48 y 64 objetos en grupos iguales lo más grandes posible, buscas el MCD: 16. Si dos eventos se repiten cada 12 y 18 días y quieres saber cuándo coinciden, buscas el MCM: 36 días.

Una relación útil

Para dos enteros no nulos, MCM(a,b) × MCD(a,b) = |a×b|. El algoritmo de Euclides obtiene el MCD mediante restos sucesivos y permite calcular después el MCM sin listar todos los múltiplos.

Para 64 y 48, el algoritmo de Euclides funciona así: 64 = 1×48 + 16, y después 48 = 3×16 + 0. En cuanto el resto llega a cero, el divisor de ese último paso es el MCD: 16, el mismo resultado que repartir 48 y 64 objetos en grupos iguales. A partir de ahí, el MCM se obtiene sin listar múltiplos: 48×64 ÷ 16 = 192.

Comprueba listas completas con las calculadoras de MCM y MCD.

Números sin divisores comunes y listas de más de dos valores

Cuando dos números no comparten ningún divisor además del 1 se llaman coprimos o primos entre sí. Por ejemplo, 9 y 28: el algoritmo de Euclides da 28 = 3×9 + 1 y después 9 = 9×1 + 0, así que el MCD es 1. En ese caso, el MCM es simplemente el producto de ambos: 9 × 28 = 252, porque no hay ningún factor común que se pueda «ahorrar».

El MCD y el MCM también se calculan para más de dos números, combinando el resultado de a pares. Para 12, 18 y 30, el MCD es 6 y el MCM es 180: se calcula el MCD de los dos primeros, después el MCD de ese resultado con el tercero, y lo mismo para el MCM.

Errores frecuentes con MCM y MCD

Confundir cuál de los dos resuelve un problema de fracciones. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador se necesita el MCM de los denominadores, no el MCD. Para simplificar una fracción a su forma más reducida se usa el MCD del numerador y el denominador.

Buscar el MCM listando múltiplos de números grandes. Es un método válido para números pequeños, pero se vuelve poco práctico cuanto mayores son los valores. El algoritmo de Euclides para el MCD, combinado con la relación MCM = |a×b| ÷ MCD, evita tener que listar nada.

Asumir que el MCD de dos números coprimos es 0 en vez de 1. El MCD de dos números que no comparten factores además del 1 es precisamente 1, nunca 0. El MCD solo es 0 en el caso especial de que ambos números sean 0.

Preguntas frecuentes

¿El MCD puede ser mayor que el menor de los números? No. El MCD nunca supera al menor de los números comparados, porque ese número siempre se divide a sí mismo exactamente.

¿El MCM puede ser menor que el mayor de los números? No. El MCM siempre es igual o mayor que el mayor de los números, ya que debe ser múltiplo de todos ellos a la vez.

¿Sirve el MCD para algo más que repartir objetos en grupos? Sí: se usa para simplificar fracciones, resolver problemas de proporciones enteras y, en programación, para reducir razones a su forma mínima antes de mostrarlas.